MagnétoHydroDynamique

W. Herreman, C. Nore

Les équations de la magnétohydrodynamique (MHD) décrivant le mouvement d’un fluide conducteur de l’électricité couplent les champs de vitesse et d’induction magnétique par la force de Lorentz et la loi d’Ohm. À l’aide d'un code MHD développé au LIMSI couplé à des modèles analytiques innovants, nous développons ce sujet suivant trois axes principaux :

 

 

 

►  Écoulements multi-phasiques dans les batteries à métaux liquides
Les énergies éolienne et solaire sont prometteuses pour notre avenir mais sont générées de façon intermittente. Pour optimiser leur usage, il est important de développer des technologies de stockage massif d’énergie. Pour répondre à ce besoin, le groupe de D. Sadoway (MIT Boston) propose d'utiliser des batteries à métaux liquides de grande taille. Comme dans une batterie classique, l’énergie électrique est stockée sous forme électro-chimique, à l’aide d’un triplet anode - électrolyte - cathode constitué de métaux liquides et d'électrolyte de différentes densités massiques qui, dans le champ de gravité, s’organisent en couches. Cependant, des instabilités MHD peuvent se déclencher dans les métaux liquides pendant les phases de charge–décharge mais aussi aux interfaces et provoquer des mouvements pouvant induire des courts-circuits. Dans la période 2014-15, nous avons étudié une instabilité MHD appelée Tayler de manière théorique et numérique. Pour cela, nous avons implémenté la méthode level-set dans le code numérique SFEMaNS (collab. J.-L. Guermond, TAMU, Texas) du LIMSI. Ce travail a permis de définir des régimes sûrs de fonctionnement d’une batterie à métaux liquides, vis à vis de l’instabilité de Tayler (voir figure 1 à gauche). Par la suite, nous avons montré l’importance de l’instabilité du Metal Pad Roll qui génère une onde tournante à l'interface entre deux métaux liquides. Un exemple d’une simulation directe de cette instabilité dans une cellule d’electrolyse est montré dans la figure 1 à droite. Ce travail bénéficie de la collaboration avec le HZDR de Dresden (N. Weber, F. Stefani, T. Weier), où des expériences sur les batteries sont en construction.

Figure 1 : Gauche) Instabilité de Tayler dans les batteries à métaux liquides [Herreman et al., JFM (2015)]. (Droite) Instabilité de Metal Pad Roll dans une cellule d’électrolyse [Cappanera et al., Int. J. Num. Methods in Fluids, (2017)].

 

 

 

► Dynamo Von Kármán Sodium (VKS)
L’expérience Von Kármán Sodium étudie la génération de champ magnétique par un écoulement turbulent de sodium liquide entraîné par deux turbines (disques et pales) contra-rotatives. C’est la seule à avoir obtenu des régimes de dynamo avec un champ magnétique se renversant au cours du temps comme le champ terrestre mais, pour cela, il faut que les turbines soient en fer doux. Le rôle de ce matériau ferromagnétique reste mystérieux et nous nous proposons d’y apporter des éléments de réponse en nous appuyant sur le code SFEMaNS (collab. J.-L. Guermond, TAMU, Texas). Les verrous scientifiques sont d’abord la prise en compte des turbines en fer correspondant à une variation azimutale de la perméabilité magnétique mais aussi les grands nombres de Reynolds cinétiques de l’expérience (107). La méthode utilisée pour lever le premier verrou est de considérer une perméabilité axisymétrique moyenne et de traiter les variations azimutales comme
un terme source de l’équation d’induction (thèse de L. Cappanera, ED SMEMaG 2013-2016). Dans le cas simplifié de la dynamo cinématique où le champ de vitesse est supposé constant, un code numérique développé au GeePs (ex-LGEP) et au LIMSI et basé sur les éléments de Nédélec a permis de mettre en évidence le rôle de guide électromagnétique joué par les pales ferromagnétiques (post-doc Labex LaSIPS de H. Zaidi). Un autre ingrédient clé est le tourbillon hélicoïdal généré derrière chaque pale : il collimate tout champ magnétique pré-existant créant une amplification de ce champ, plus importante pour une pale ferromagnétique que conductrice (post-doc InterLabex de J. Varela-Rodriguez). Pour le second verrou, une technique de stabilisation non linéaire permet d'atteindre des grands nombres de Reynolds cinétiques. Nous
avons ainsi pu réaliser les premières simulations tridimensionnelles réalistes de VKS (voir figure 2).

Figure 2 : Champs de vitesse (gauche) et magnétique (droite) pour une simulation numérique directe de l'effet dynamo dans l'expérience de von Kármán Sodium [Nore et al., Europhysics Letters, (2016)].

 

 ► Optimisation de la dynamo
Compte tenu de la difficulté de produire l’effet dynamo expérimentalement, étudier comment abaisser au maximum le seuil en nombre de Reynolds magnétique est primordial. Des études d’optimisation ont donc toujours accompagné les campagnes expérimentales, mais ces optimisations portent toujours sur un nombre petit de paramètres. Dans un travail récent (A.P. Willis, 2012, PRL), A. Willis applique des méthodes d’optimisation variationnelle, pour trouver les écoulements les plus efficaces dans des espaces de paramètres gigantesques (+105 paramètres). Cette méthode a été adaptée au LIMSI pour étudier plusieurs nouvelles configurations. Pendant sa thèse (2013-2018) à l’ETH Zurich, L. Chen (co-supervisée par W. Herreman) a trouvé les dynamos les plus efficaces dans des cas où le fluide est confiné à l’intérieur d’un cube (JFM 2015), puis dans une sphère (JFM 2018). La figure 3 à gauche montre un cliché issu de ces simulations en géométrie
sphérique. Le même type de méthode permet d'étudier la fragilité des théorèmes anti-dynamo. On sait par exemple qu’un écoulement de cisaillement pur ne pourra jamais être dynamogène et que, pour déclencher la dynamo, il faut des perturbations de vitesse d'amplitude finie. À l’aide de la méthode variationnelle, nous avons mesuré quelle perturbation de vitesse est nécessaire pour déclencher une dynamo dans l’écoulement de Kolmogorov (JFM Rapids, 2016). Dans la figure 3 à droite, on montre des lignes du champ de vitesse u de la perturbation minimale ainsi que le mode magnétique déstabilisé B.

Figure 3 : (Gauche) Champ magnétique déstabilisé par la dynamo optimale dans une sphère [Chen et al., JFM (2018)]. (Droite) Perturbations minimales de vitesse u qui déclenchent une dynamo (B) dans l’écoulement de Kolmogorov [Herreman, JFM Rapids (2016)].

 

 

 

 ► Modélisation électro-magnéto-thermique de suspensions ferrofluides
Nous étudions la modélisation et la simulation de fluides magnétiques dans un contexte de transferts thermiques (thèse de R. Zanella en co-tutelle avec le GeePs, ED SMEMaG, financée par le Labex LaSIPS). En particulier, on s'intéresse au refroidissement par convection thermo-magnétique des transformateurs immergés dans des ferrofluides, constitués d’une huile végétale (isolante électriquement, non magnétique et écologique) et de nanoparticules ferromagnétiques. Le modèle mathématique comporte les équations suivantes : magnétostatique, Navier-Stokes pour un fluide Newtonien et incompressible et conservation de l’énergie. Du fait des nanoparticules magnétiques, des termes de couplage apparaissent : un terme de forçage dans Navier-Stokes (force de Kelvin) et des termes faisant apparaître le champ magnétique dans la conservation de l’énergie (chauffage Joule et terme pyromagnétique). La variation en température des propriétés physiques du ferrofluide a une forte influence. Ces développements ont été implémentés dans le code SFEMaNS (collab.
J.-L. Guermond, TAMU, Texas). L’étude numérique se base sur différents modèles de transformateur, allant d'un modèle simplifié (un solénoïde plongé dans une cuve remplie de ferrofluide, voir figure 4) à des circuits primaire et secondaire de géométries variées. Un cœur ferromagnétique et laminé peut être rajouté afin de se rapprocher d’un transformateur réel et d’augmenter le champ magnétique dans le fluide. Le modèle simplifié, étudié expérimentalement au GeePs, permet de valider l'approche numérique dans le cas d'une huile végétale. La même configuration avec ferrofluide sera étudiée dans l'avenir.

Figure 4 : Schéma du modèle simplifié utilisé en expérience au GeePS (gauche) et iso-surfaces de température en degrés Celsius calculées avec SFEMaNS (milieu : huile végétale ; droite : ferrofluide). Avec du ferrofluide, des cellules de convection thermo-magnétique apparaissent près des parois latérales et sous le solénoïde, réduisant l'écart de température par augmentation des échanges thermiques [thèse de R. Zanella en co-tutelle avec le GeePs, ED SMEMaG, financée par le Labex LaSIPS].

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